गुप्त: साहित्य, वैज्ञानिक साहित्य- भाग II
खगोल
- प्राचीनतम खगोलीय ज्ञान:
- प्राचीन भारतीय खगोलीय ज्ञान का सबसे पहला साक्ष्य ज्योतिष पर आधारित वेदांग ग्रंथों में निहित है, जिसका मुख्य उद्देश्य यज्ञ अनुष्ठानों की तिथि निश्चित करना था।
- ग्रीक प्रभाव:
- राशि चक्र के चिह्नों के संस्कृत नाम ग्रीक मूल के हैं, और ऐसा प्रतीत होता है कि ग्रीक प्रभाव के कारण ही भारतीय ग्रंथों में सप्ताह के सात दिनों के नामों में ग्रहों का क्रम निश्चित किया गया।
- यवनजातक के नाम से जाना जाने वाला एक संस्कृत ग्रन्थ भारत में हेलेनिस्टिक खगोलीय विचारों के प्रसारण को दर्शाता है।
- हालाँकि, ऐसा प्रतीत होता है कि भारतीय खगोलविदों ने स्वतंत्र रूप से कुछ बड़ी सफलताएँ हासिल की हैं।
- वराहमिहिर के पंचसिद्धांतिका (6वीं शताब्दी) में पूर्ववर्ती शताब्दियों के खगोलीय कार्यों और विचारों का सारांश प्रस्तुत किया गया है, लेकिन इनके लेखकत्व का श्रेय दिव्य या अर्ध-दिव्य प्राणियों को दिया गया है।
आर्यभट्ट प्रथम:
- आर्यभट्ट प्रथम , (476-550 ई.) खगोलशास्त्री और गणितज्ञ थे।
- वे भारत के सबसे पहले ज्ञात ऐतिहासिक खगोलशास्त्री हैं और उन्होंने दो कृतियाँ लिखी हैं:
- आर्यभटीय:
- खगोल विज्ञान और गणित से संबंधित
- आर्यभटीय के गणितीय भाग में अंकगणित, बीजगणित, समतल त्रिकोणमिति और गोलीय त्रिकोणमिति शामिल हैं ।
- इसमें सतत भिन्न, द्विघात समीकरण , घात-श्रेणी के योग और साइन की तालिका भी शामिल है।
- आर्यभट्ट-सिद्धांत:
- खगोलीय गणनाओं पर एक खोया हुआ कार्य, आर्यभट्ट के समकालीन, वराहमिहिर और बाद के गणितज्ञों और टिप्पणीकारों, जिनमें ब्रह्मगुप्त और भास्कर प्रथम शामिल हैं , के लेखन के माध्यम से जाना जाता है ।
- आर्यभटीय:
- निवास स्थान:
- ऐसा प्रतीत होता है कि वह अश्मक देश (गोदावरी पर) के मूल निवासी थे क्योंकि 7वीं शताब्दी के गणितज्ञ भास्कर प्रथम ने आर्यभटीय को अश्मकतंत्र कहा था और आर्यभट्ट के अनुयायी अश्मकीय थे।
- आर्यभटीय के एक कथन से संकेत मिलता है कि आर्यभट्ट कुसुमपुरा अर्थात पाटलिपुत्र में रहते थे।
- हिंदू और बौद्ध परंपरा, साथ ही भास्कर प्रथम, कुसुमपुरा को पाटलिपुत्र, आधुनिक पटना के रूप में पहचानते हैं।
- वे अपने पूर्ववर्तियों के विचारों और तरीकों से परिचित थे, लेकिन उन्होंने अपना रास्ता अलग ही चुना। आर्यभटीय में वे लिखते हैं:
- ‘ मैंने सत्य और असत्य, सभी खगोलीय सिद्धांतों के सागर में गोता लगाया और अपनी बुद्धि रूपी नाव के द्वारा सच्चे ज्ञान के डूबे हुए अनमोल रत्न को बचा लिया ।’
- आर्यभट्ट का ब्रह्माण्ड के बारे में दृष्टिकोण पृथ्वी-केन्द्रित था – उनका मानना था कि ग्रह पृथ्वी के चारों ओर वृत्ताकार चक्रों में घूमते हैं।
- ग्रहण की वैज्ञानिक व्याख्या:
- वह ग्रहण की वैज्ञानिक व्याख्या देने वाले पहले खगोलशास्त्री थे ।
- उन्होंने सिद्ध किया कि ग्रहण राहु और केतु राक्षसों के कारण नहीं, बल्कि पृथ्वी और सूर्य के बीच चंद्रमा के आ जाने के कारण होता है।
- उन्होंने यह पता लगाने का प्रयास किया कि ग्रहण के दौरान चंद्रमा का कौन सा भाग अस्पष्ट रहेगा।
- अन्य कार्य:
- उन्होंने यह भी सर्वप्रथम खोजा था कि पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है ।
- उनकी अनेक उपलब्धियों में से एक उपलब्धि साइन फलनों का पता लगाना और उनका खगोल विज्ञान में प्रयोग करना था।
- उन्होंने एक ग्रह की कक्षा की गणना के लिए समीकरण तैयार किया और एक वर्ष की लंबाई (365.2586805 दिन) का अत्यंत सटीक अनुमान दिया।
- आर्यभटीय में उन्होंने युगों में पृथ्वी के परिक्रमण की संख्या बताई है।
- आर्यभट्ट ने नक्षत्र घूर्णन (स्थिर तारों के संदर्भ में पृथ्वी का घूर्णन) की गणना 23 घंटे, 56 मिनट और 4.1 सेकंड के रूप में की थी; आधुनिक मान 23:56:4.091 है।
- उन्होंने पाया कि चंद्रमा और ग्रह सूर्य के प्रकाश से परावर्तित होकर चमकते हैं।
- प्रभाव:
- आर्यभट्ट के कार्य का भारतीय खगोलीय परंपरा पर बहुत प्रभाव था और अनुवाद के माध्यम से कई पड़ोसी संस्कृतियों पर इसका प्रभाव पड़ा।
- उनके कुछ परिणामों का उल्लेख अल-ख्वारिज्मी ने किया है और 10वीं शताब्दी में अल-बिरूनी ने कहा कि आर्यभट्ट के अनुयायी मानते थे कि पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है।
- आर्यभट्ट और उनके अनुयायियों द्वारा तैयार की गई कैलेंडर गणनाएँ भारत में पंचांगम (हिंदू कैलेंडर) तय करने के व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए निरंतर उपयोग में रही हैं । इस्लामी दुनिया में, उन्होंने 1073 ई. में खगोलविदों के एक समूह द्वारा शुरू किए गए जलाली कैलेंडर का आधार बनाया , जिसके संस्करण आज ईरान और अफ़गानिस्तान में उपयोग किए जाने वाले राष्ट्रीय कैलेंडर हैं।
वराहमिहिर:
- वराहमिहिर छठी शताब्दी के ज्योतिषी, खगोलशास्त्री और गणितज्ञ थे , जो पांचवीं शताब्दी के अंत में अवंती (पश्चिमी मालवा में) उज्जैन के निवासी थे।
- उन्हें मालवा के महान शासक यशोधर्मन विक्रमादित्य के दरबार के नवरत्नों में से एक माना जाता है ।
- उन्होंने खगोल विज्ञान और कुंडली पर कई ग्रंथ लिखे ।
- पंचसिद्धांतिका:
- उनकी पंचसिद्धांतिका खगोल विज्ञान की पाँच शाखाओं से संबंधित है :
- सूर्य सिद्धांत,
- रोमाका सिद्धांत:
- यह नाम रम से लिया गया है, अर्थात रोमन साम्राज्य के विषय, श्रीशेन द्वारा रचित
- यह ग्रीक और रोमन विचारों से प्रभावित था।
- पौलिसा सिद्धांत:
- यह नाम ग्रीक शब्द पुलिसा से लिया गया है, जो पुलिसा द्वारा रचित है।
- वशिष्ठ सिद्धांत:
- विष्णुचंद्र द्वारा रचित ग्रेट बियर के एक तारे के नाम पर इसका नाम रखा गया है
- पैतामह सिद्धान्तस।
- इनमें से दो (रोमाका और पौलिसा) ग्रीक खगोलशास्त्र के गहन ज्ञान को दर्शाते हैं ।
- रोमक सिद्धांत (“रोमनों का सिद्धांत”) और पौलिसा सिद्धांत (“पॉल का सिद्धांत”) पश्चिमी मूल की दो रचनाएँ थीं, जिन्होंने वराहमिहिर के विचारों को प्रभावित किया।
- भारतीय खगोलशास्त्री यूनानी खगोलशास्त्रियों के कार्य को महत्व देते थे, जिनसे वे परिचित थे, लेकिन वे अपने परिणामों पर स्वतंत्र रूप से पहुंचे, जो आमतौर पर अधिक सही थे।
- उन्होंने घोषणा की कि सूर्यसिद्धांत उनके पास उपलब्ध सभी पांच सिद्धांतों में से सर्वोत्तम है।
- उनकी पंचसिद्धांतिका खगोल विज्ञान की पाँच शाखाओं से संबंधित है :
- वह एक ज्योतिषी भी थे । उन्होंने ज्योतिष की तीनों मुख्य शाखाओं पर लिखा:
- लघु-जातक,
- बृहत्जातक,
- बृहत् संहिता.
- बृहत्संहिता:
- उनकी बृहत्संहिता एक विश्वकोशीय कार्य है जिसमें विविध विषयों पर चर्चा की गई है
- तलवारें कैसे तेज़ करें,
- बहुमूल्य धातुओं और पत्थरों का मूल्य कैसे पता लगाया जाए,
- पेड़ों को मौसम के बाहर फल कैसे दें,
- पशुओं की अच्छी नस्लों की पहचान कैसे करें, और
- पानी का स्थान कैसे पता करें।
- इसमें मंदिरों, महलों और घरों की प्रकृति और संरचना पर भी चर्चा की गई है।
- इसमें ऋतुओं की व्याख्या की गई है तथा मौसम संबंधी मुद्दों, जैसे बादलों, हवाओं और वर्षा की मात्रा के बीच संबंध, पर चर्चा की गई है।
- उनकी बृहत्संहिता एक विश्वकोशीय कार्य है जिसमें विविध विषयों पर चर्चा की गई है
ब्रह्मगुप्त:
- ब्रह्मगुप्त (598-670 ई.) एक गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थे जिन्होंने गणित और खगोल विज्ञान पर दो ग्रंथ लिखे:
- ब्रह्मस्फुटसिद्धांत (ब्रह्मा पर विस्तृत ग्रंथ), 628 ई. में लिखा गया एक सैद्धांतिक ग्रंथ, और
- खंडखाद्यक (665 ई.पू.), एक अधिक व्यावहारिक पाठ।
- ये ग्रंथ भारत में बहुत प्रभावशाली हो गए और उनके अरब अनुवादों और रूपांतरणों ने अरबों को भारतीय खगोल विज्ञान से परिचित कराया।
- ब्रह्मस्पुटसिद्धान्त:
- ब्रह्मसप्तसिद्धांत पहला जीवित भारतीय ग्रन्थ है जिसमें खगोलीय उपकरणों की व्यवस्थित चर्चा है , साथ ही उनसे प्राप्त रीडिंग से खगोलीय तत्वों की गणना करने की विधियां भी हैं ।
- उपकरणों में शामिल हैं:
- सामान,
- समय मापने और आकाशीय पिंडों के अवलोकन के लिए खगोलीय उपकरण,
- एक उपकरण जो एक दिन के लिए स्वचालित रूप से घूमते हैं, और एक जो निरंतर घूमते रहते हैं।
- इस ग्रंथ में नौ खगोलीय उपकरणों का उल्लेख है :
- चक्र (360º में विभाजित एक गोलाकार लकड़ी की प्लेट),
- धनुस (एक अर्धवृत्ताकार प्लेट),
- टुरयागोला (एक चौथाई प्लेट),
- करतारी (विभिन्न स्तरों पर एक साथ जुड़ी हुई दो अर्ध-वृत्ताकार प्लेटें) आदि।
- लकड़ी या बांस से बने ये उपकरण डिजाइन में बहुत सरल होते हैं और इनसे माप में अधिक सटीकता नहीं मिलती।
- इससे पता चलता है कि खगोलविद संभवतः अपने बेहतर कंप्यूटिंग कौशल पर अधिक भरोसा करते थे।
- हालाँकि, ब्रह्मगुप्त ने स्वयंवाह यंत्र नामक जटिल स्वचालित उपकरणों का भी उल्लेख किया है , जो सतत गति के विचार के प्रति जागरूकता को दर्शाता है ।
- खंडखाद्यका (जिसका अर्थ है “खाने योग्य टुकड़ा”):
- यह एक खगोलीय ग्रंथ है।
- इस ग्रंथ में आठ अध्याय हैं जिनमें निम्नलिखित विषयों पर चर्चा की गई है:
- ग्रहों के देशांतर,
- दैनिक घूर्णन,
- चंद्र और सूर्य ग्रहण,
- उदय और अस्त,
- चाँद का अर्धचन्द्र और
- ग्रहों की युति.
- खंडखाद्यक को संस्कृत में अल-बिरूनी के नाम से जाना जाता था। यह ग्रंथ आर्यभट्ट के अर्धरात्रिपक्ष की प्रतिक्रिया के रूप में लिखा गया था ।
- ब्रह्मगुप्त ने पौराणिक दृष्टिकोण की आलोचना की कि पृथ्वी चपटी या खोखली है । इसके बजाय, उन्होंने कहा कि पृथ्वी और स्वर्ग गोलाकार हैं ।
अंक शास्त्र
- शुल्वसूत्र:
- भारतीय गणित की जड़ें श्रौतसूत्र के परिशिष्ट शुल्वसूत्र में खोजी जा सकती हैं।
- शुल्व का अर्थ है मापन और शुल्वसूत्र उस स्थान की तैयारी के लिए मैनुअल हैं जहां वैदिक बलि अनुष्ठान किए जाने थे, जिसमें वैदिक ईंट की अग्नि वेदियों के निर्माण से संबंधित जानकारी दी गई है ।
- इन मैनुअलों में उस सिद्धांत की प्रारंभिक अभिव्यक्तियाँ सम्मिलित हैं, जिसे बाद में ज्यामिति में पाइथागोरस प्रमेय के नाम से जाना गया।
- शुल्वसूत्रों ने वृत्त का वर्ग करने के लिए भी सुझाव दिए हैं , अर्थात् केवल रूलर और परकार का उपयोग करके एक वर्ग का निर्माण करना, जिसका क्षेत्रफल किसी दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो ।
- बाद के समय में, गणित-शास्त्र शब्द गणितीय विज्ञान के लिए सबसे अधिक प्रयुक्त होने वाला शब्द था।
- दशमलव संकेतन प्रणाली और शून्य:
- प्राचीन भारतीय गणितज्ञों की सबसे महत्वपूर्ण खोजों में से एक थी दशमलव अंकन प्रणाली , जो पहले नौ अंकों के स्थानीय मान और शून्य के लिए बिंदु नामक प्रतीक के प्रयोग पर आधारित थी ।
- इस प्रणाली के उपयोग से अंकगणितीय गणनाएं बहुत सरल हो गईं।
- दशमलव स्थान-मूल्य प्रणाली का सबसे पुराना प्रमाण तीसरी शताब्दी में स्फुजिध्वज द्वारा रचित ज्योतिष पर यवनजातक नामक कृति में मिलता है । हालाँकि, इस कृति में शून्य का उल्लेख नहीं है।
- शून्य प्रतीक, एक बिंदु, का प्रयोग पिंगला द्वारा छंदसूत्र में , जो कि ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी से पहले का कार्य था, छन्दों में किया गया था।
- वराहमिहिर का पंचसिद्धांतिका सबसे प्रारंभिक तिथि-योग्य ग्रन्थ है जिसमें शून्य को प्रतीक और संख्या दोनों के रूप में दर्शाया गया है।
- अंकन की दशमलव प्रणाली का उपयोग वराहमिहिर द्वारा किया गया था और इसका उल्लेख आर्यभट्ट ने अपने आर्यभटीय में किया था।
- वर्गमूल और घनमूल निकालने की आर्यभट्ट की विधि में संख्याओं के दशमलव स्थान मान को पूर्व निर्धारित किया गया है ।
- इससे पता चलता है कि भारतीय गणितज्ञ 5वीं शताब्दी में इस प्रणाली का प्रयोग कर रहे थे।
- इलाहाबाद जिले से प्राप्त 448 ई. के एक गुप्त शिलालेख से पता चलता है कि दशमलव प्रणाली भारत में पांचवीं शताब्दी के प्रारंभ में ही ज्ञात थी।
- यूरोप में 12वीं शताब्दी तक पुरानी जटिल प्रणाली का पालन किया जाता रहा, फिर यूरोपीय लोगों ने अरबों से नई प्रणाली सीखी।
- इब्न वशिया, अल-मसुदी और अल-बिरूनी जैसे अरब लेखक इस प्रणाली की खोज का श्रेय ‘हिंदुओं’ को देते हैं।
- प्राचीन भारतीय गणितज्ञों की सबसे महत्वपूर्ण खोजों में से एक थी दशमलव अंकन प्रणाली , जो पहले नौ अंकों के स्थानीय मान और शून्य के लिए बिंदु नामक प्रतीक के प्रयोग पर आधारित थी ।
- आर्यभट्ट:
- आर्यभट का आर्यभटीय मुख्य रूप से खगोल विज्ञान पर आधारित कार्य है और इसमें गणित की समस्याओं का संयोगवश वर्णन किया गया है। इसमें संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति और उनके वर्गों और घनों का वर्णन किया गया है।
- आर्यभट्ट शून्य प्रणाली और दशमलव प्रणाली दोनों के प्रति जागरूकता प्रदर्शित करते हैं ।
- ज्यामिति:
- आर्यभट्ट ने वृत्त के विभिन्न गुणों का वर्णन किया है तथा पाई (π) का बहुत सटीक मान 4 दशमलव स्थानों तक 3.1416 दिया है।
- उन्होंने पाई (π) की गणना 4 दशमलव स्थानों तक सही ढंग से 3.1416 पर की , जो हाल के अनुमानों के काफी करीब है।
- आर्यभट्ट को बीजगणित का जनक माना जाता है । उनके काम में कई जटिल समकालिक समीकरणों का समाधान शामिल है ।
- त्रिकोणमिति:
- खगोल विज्ञान में समस्याओं को सुलझाने में साइन ( ज्या ) फलनों का उपयोग त्रिकोणमिति के विकास का संकेत देता है .
- साइन ( ज्या ), कोसाइन ( कोज्या ), वर्साइन ( उत्क्रम-ज्या ) और व्युत्क्रम साइन ( ओत्क्रम ज्या ) की उनकी परिभाषाओं ने त्रिकोणमिति के जन्म को प्रभावित किया।
- आर्यभटीय में 0 से 90 डिग्री तक के कोणों के लिए 3.75 डिग्री के अंतराल पर त्रिकोणमितीय अनुपात साइन की तालिकाएँ दी गई हैं । वही साइन तालिकाएँ सूर्य सिद्धांत में भी पाई जाती हैं।
- आर्यभट्ट ने कुछ प्रकार के अनिश्चित समीकरणों को पूर्णांकों में हल करने की विधियों को भी परिष्कृत किया ।
- बाद के गणितज्ञों जैसे ब्रह्मगुप्त और भास्कर द्वितीय ने भी इस क्षेत्र में योगदान दिया।
- वराहमिहिर:
- उन्होंने आर्यभट्ट प्रथम की साइन तालिकाओं की सटीकता में सुधार किया।
- उन्होंने शून्य के साथ-साथ ऋणात्मक संख्याओं के बीजगणितीय गुणों को भी परिभाषित किया।
- वह उन पहले गणितज्ञों में से थे जिन्होंने पास्कल त्रिभुज के एक संस्करण की खोज की जिसे अब पास्कल त्रिभुज के रूप में जाना जाता है । उन्होंने इसका उपयोग द्विपद गुणांक की गणना करने के लिए किया।
- भौतिकी में वराहमिहिर के योगदान में से एक उनका यह कथन है कि परावर्तन कणों के प्रति-प्रकीर्णन और अपवर्तन के कारण होता है।
- ज्यामिति पर यूनानी लेखकों के विपरीत, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों ने प्रमाण या प्रदर्शन नहीं दिए।
- बाद की शताब्दियों में विकास:
- सातवीं शताब्दी में भारतीय गणित दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित हो गया – माप सहित अंकगणित और बीजगणित।
- भास्कर प्रथम (गुप्तों के ठीक बाद, 7वीं शताब्दी की शुरुआत में):
- भास्कर प्रथम ने 629 ई. में आर्यभटीय , आर्यभटीयभाष्य पर एक टिप्पणी लिखी, जहां उन्होंने बीजगणितीय सूत्रों के लिए एक दिलचस्प ज्यामितीय उपचार दिया।
- उन्होंने अपनी टिप्पणी में साइन फ़ंक्शन का एक अनोखा और उल्लेखनीय तर्कसंगत अनुमान दिया।
- यह टीका गणित और खगोल विज्ञान पर संस्कृत में लिखी गई सबसे पुरानी गद्य रचना है।
- वह हिन्दू दशमलव प्रणाली में शून्य के स्थान पर वृत्त बनाकर संख्याएं लिखने वाले पहले व्यक्ति थे।
- उन्होंने आर्यभट्ट के स्कूल की तर्ज पर दो खगोलीय ग्रंथ भी लिखे, महाभास्करीय और लघुभास्करीय ।
- भास्कर प्रथम ने 629 ई. में आर्यभटीय , आर्यभटीयभाष्य पर एक टिप्पणी लिखी, जहां उन्होंने बीजगणितीय सूत्रों के लिए एक दिलचस्प ज्यामितीय उपचार दिया।
- ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी):
- ब्रह्मगुप्त ने ज्यामिति में महत्वपूर्ण योगदान दिया ।
- ज्यामिति में ब्रह्मगुप्त का सबसे प्रसिद्ध परिणाम चक्रीय चतुर्भुजों के क्षेत्रफल का सूत्र है।
- वे पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने परिमेय भुजाओं वाले चक्रीय चतुर्भुज को प्राप्त करने की विधि पर चर्चा की थी।
- उन्होंने त्रिभुज के परि-व्यास तथा चक्रीय चतुर्भुज के विकर्णों को उसकी भुजाओं के आधार पर ज्ञात करने के सिद्धांत भी प्रस्तुत किए ।
- ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में निम्नलिखित शामिल हैं:
- शून्य की भूमिका, ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम,
- वर्गमूल की गणना करने की एक विधि,
- रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ, और
- श्रृंखला के योग के नियम.
- यह पुस्तक पूर्णतः पद्य में लिखी गई है और इसमें किसी भी प्रकार का गणितीय संकेतन नहीं है।
- फिर भी, इसमें द्विघात सूत्र का पहला स्पष्ट विवरण शामिल था।
- यह शून्य को एक संख्या के रूप में मानने वाला सबसे पहला ज्ञात ग्रन्थ है।
- ब्रह्मगुप्त 3 को π के “व्यावहारिक” मान के रूप में और π
के “सटीक” मान के रूप में उपयोग करते हैं ।
- ब्रह्मगुप्त ने ज्यामिति में महत्वपूर्ण योगदान दिया ।
- महावीर (9वीं शताब्दी):
- महावीर (9वीं शताब्दी) कर्नाटक के एक प्रसिद्ध गणितज्ञ थे जो मान्यखेत के राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष नृपतुंगा के दरबार में रहते थे ।
- उन्होंने गणितसारसंग्रह नामक एक पुस्तक लिखी जिसमें विभिन्न गणितीय समस्याओं पर चर्चा की गई थी।
- उन्होंने दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल और परिधि के लिए सूत्र भी दिए ।
- दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल के लिए उन्होंने जो सूत्र दिया वह ग़लत था, लेकिन परिधि के लिए जो सूत्र दिया वह सही था।
- भास्कर द्वितीय (12वीं शताब्दी):
- लीलावती के लेखक भास्कर द्वितीय एक अन्य महत्वपूर्ण गणितज्ञ थे, जिनके लेखन में कलन के कुछ महत्वपूर्ण विचार शामिल हैं।
के “सटीक” मान के रूप में उपयोग करते हैं ।
